【题目】已知函数f(x)=x+ 的图象过点P(1,5). (Ⅰ)求实数m的值,并证明函数f(x)是奇函数;
(Ⅱ)利用单调性定义证明f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.
【答案】解:(Ⅰ) 的图象过点P(1,5), ∴5=1+m,
∴m=4
∴ ,f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
∴f(x)=﹣f(x),
f(x)是奇函数.
(Ⅱ)证明:设x2>x1≥2,
则
又x2﹣x1>0,x1≥2,x2>2,∴x1x2>4
∴f(x2)﹣f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
即f(x)在区间[2,+∞)上是增函数
【解析】(Ⅰ)代入点P,求得m,再由奇函数的定义,即可得证;(Ⅱ)根据单调性的定义,设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证.
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
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【题目】若圆的一条直径的两个端点分别是(﹣1,3)和(5,﹣5),则此圆的方程是( )
A.x2+y2+4x+2y﹣20=0
B.x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0
C.x2+y2﹣4x+2y+20=0
D.x2+y2﹣4x+2y﹣20=0
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【题目】已知曲线,
,则下列说法正确的是( )
A. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
B. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
C. 把曲线向右平移
个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到曲线
D. 把曲线向右平移
个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到曲线
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【题目】设函数f(x)=1﹣ ,g(x)=ln(ax2﹣3x+1),若对任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的最大值为( )
A.2
B.
C.4
D.
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【题目】设向量 =(cosθ,sinθ),
=(﹣
,
);
(1)若 ∥
,且θ∈(0,π),求θ;
(2)若|3 +
|=|
﹣3
|,求|
+
|的值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,侧面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求证:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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