Question

【题目】已知函数f（x）=x+ 的图象过点P（1，5）． （Ⅰ）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）利用单调性定义证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 的图象过点P（1，5）， ∴5=1+m，
∴m=4
∴ ，f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∴f（x）=﹣f（x），
f（x）是奇函数．
（Ⅱ）证明：设x2＞x1≥2，
则
又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在区间[2，+∞）上是增函数
【解析】（Ⅰ）代入点P，求得m，再由奇函数的定义，即可得证；（Ⅱ）根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．