Question

已知函数f（x）=

x3+sinx

(x2+cosx)+1

，
（1）f（a）=

3

2

，则f（-a）=

 

，
（2）f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值为M，最小值为m，则m+M=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断函数f（x）是奇函数，再利用f（a）求f（-a）的值；
（2）由f（x）是[-

π

2

，

π

2

]上是奇函数，单调性一致，f（x）的最大值与最小值互为相反数，计算m+M即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x3+sinx

(x2+cosx)+1

，
∴f（-x）=

(-x)3+sin(-x)

(-x)2+cos(-x)+1

=-

x3+sinx

x2+cosx+1

=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
当f（a）=

3

2

时，f（-a）=-f（a）=-

3

2

；
（2）∵f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上是奇函数，且单调性一致，
∴不妨设函数f（x）的最大值M=f（

π

2

），最小值m=f（-

π

2

），
则m+M=f（-

π

2

）+f（

π

2

）=-f（

π

2

）+f（

π

2

）=0．
故答案为：-

3

2

；0．

点评：本题考查了奇函数性质的灵活应用问题，解题的关键是判断出f（x）是奇函数．