Question

在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）要求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t），必须考查各顶点的可能位置．由于t为正数，O是坐标原点，显然点P在第一象限，点R在第二象限，但点Q的横坐标1-2t可正、可零、可负，即Q点可能在第一象限或在y轴上或在第二象限，需分类求解．
（2）由（1）知t的不同取值知S（t）有不同的表达式，因此要就不同的表达式来确定函数S（t）的单调区间．

解答：解：（1）当1-2t＞0即0＜t＜

1

2

时，0＜t＜

1

2

时，点Q在第一象限，如图（1），
直线RQ的方程为y=t（x+2t）+2，它与y轴的交点T（0，2+2t²），
故△ORT的面积S=

1

2

×2t×（2+2t²）=2t×（1+t²）
可得矩形在第一象限内的部分面积为S（t）=2+2t²-2t×（1+t²）=2[1-t×（1+t+t²）]
当-2t+1≤0，即t≥

1

2

时，如图（2），点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPT的面积，
直线PQ的方程为y=-

x

t

+t+

1

t

，
令x=0得y=t+

1

t

，故点T的坐标为（0，t+

1

t

），
故S（t）=S_△OPT=

1

2

×(t+

1

t

) ×1=

1

2

×(t+

1

t

)
综上知S（t）=

2[1-t×(1+t+t 2)]   0＜t＜ 1 2 1 2 ×(t+ 1 t )           t≥ 1 2

（2）S（t）在区间（0，

1

2

）与（

1

2

，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，证明如下
下用导数法证明：
由于S'（t）=

-2-4t-6t2   0＜t＜ 1 2 1 2 (1- 1 t2 )    t≥ 1 2

验证知当在区间（0，

1

2

）与（

1

2

，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在区间（0，

1

2

）与（

1

2

，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数

点评：本题考点是函数的单调性与单调区间，考查根据实际问题建立函数关系式，借用函数的单调性研究实际问题的变化情况，本题是借助函数的变化研究图形面积的变化，本题体现了数形结合的思想及转化的思想，根据题意选择合适的函数模型来研究几何问题是一种常见的思路．