Question

13．已知函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象图象与x轴的交点分别为点P，Q（如图所示），图象上的点R的坐标为（4，$\sqrt{2}$）．
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的值域；
（2）求向量$\overrightarrow{PR}$与$\overrightarrow{PQ}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）把（4，$\sqrt{2}$）代入已知解析式可得φ值，可得解析式，可得值域；
（2）由（1）可得P（1，0）和Q（9，0），可得向量坐标，由夹角公式可得．

解答 解：（1）由题意把（4，$\sqrt{2}$）代入f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）可得$\sqrt{2}$=2sin（π+φ），
∴sinφ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的值域为[-2，2]；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$），
令2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$）=0可得$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=4k+1，k∈Z
结合图象可取k=0得P（1，0），取k=2可得Q（9，0），
∴$\overrightarrow{PR}$=（3，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PQ}$=（8，0），
∴向量$\overrightarrow{PR}$与$\overrightarrow{PQ}$的夹角的余弦值cosθ=$\frac{\overrightarrow{PR}•\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PR}||\overrightarrow{PQ}|}$=$\frac{24}{8\sqrt{11}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，涉及向量的夹角公式，属中档题．