Question

6．若a＞1，是否存在a，使得f（x）=a^x与g（x）=log_ax仅有一个交点？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，则指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切时，f（x）=a^x与g（x）=log_ax仅有一个交点，解得答案．

解答 解：∵函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，
则指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切时，
f（x）=a^x与g（x）=log_ax仅有一个交点，
此时，f′（x）=$\frac{1}{xlna}=1$，x=$\frac{1}{lna}$，f（x）=${a}^{\frac{1}{lna}}$，
由于此时切线过原点，故$\frac{{a}^{\frac{1}{lna}}-0}{\frac{1}{lna}-0}$=1，
解得：a=${e}^{\frac{1}{e}}$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．