Question

已知直线l：3x+4y-2=0
（Ⅰ）求经过直线l与直线x+3y-4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的方程；
（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的内切圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线l与直线x+3y-4=0，求出交点P的坐标，根据直线l垂直于直线x-2y-1=0，求出所求直线的斜率，表示出所求直线方程，将P坐标代入求出c的值，即可确定出所求直线方程；
（Ⅱ）对于直线l，分别令x与y为0求出对应y与x的值，利用直角三角形内切圆半径为两直角边之和减去斜边差的一半求出内切圆半径，确定出圆心坐标，写出圆的标准方程即可．

解答：解：（Ⅰ）联立得：

3x+4y-2=0 x+3y-4=0.

，
解得：

x=-2 y=2

，
∵所求直线与x-2y-1=0垂直，
∴可设所求直线的方程为2x+y+c=0，
把点P的坐标（-2，2）代入得 2×（-2）+2+c=0，即c=2，
则所求直线的方程为2x+y+2=0；
（Ⅱ）对于直线l：3x+4y-2=0，令x=0，得到y=

1

2

；令y=0，得到x=

2

3

，
可得直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是

2

3

、

1

2

，
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的半径为

1

2

（

2

3

+

1

2

-

5

6

）=

1

6

，圆心坐标为（

1

6

，

1

6

），
则直线l与两坐标轴围成三角形的内切圆方程为（x-

1

6

）²+（y-

1

6

）²=

1

36

．

点评：此题考查了圆的标准方程，直线的一般式方程，以及直线的一般式方程与直线垂直的关系，弄清题意是解本题的关键．