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设数列{an}的前n项和为Sn,满足an+1=
3Sn
n
+n+1,n∈N*,且S4=18,令bn=
an
n

(1)求b1,b2,b3的值
(2)求数列{bn}的通项公式
(3)求证:对一切n∈N*,有
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
1
2
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由已知条件利用递推思想分别求出数列{an}的前4项,由此得20a1+20=18,从而能求出b1=-
1
10
,b2=
17
20
,b3=
9
5

(2)由b1,b2,b3是等差数列,假设{bn}是等差数列,从而得到bn=-
1
10
+(n-1)×(
17
20
+
1
10
)
=
19
20
n-
21
20
.再用数学归纳法证明,由此能求出bn=
19
20
n-
21
20

(3)由an=nbn=
19n2-21n
20
,得
1
an
=
20
19n2-21n
20
19
1
n(n-1)
=
20
19
(
1
n-1
-
1
n
)
,n≥2,由此利用放缩法能证明
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
1
2
解答: (1)解:∵an+1=
3Sn
n
+n+1,n∈N*
∴a2=3a1+2,
a3=
3
2
(a1+3a1+2)+3
=6a1+6,
a4=(10a1+8)+4=10a1+12,
∵S4=18,∴20a1+20=18,解得a1=-
1
10

a2=3×(-
1
10
)+2
=
17
10

a3=6×(-
1
10
)
+6=
27
5

∵bn=
an
n

∴b1=-
1
10
,b2=
17
20
,b3=
9
5

(2)∵b1=-
1
10
,b2=
17
20
,b3=
9
5

∴b1,b2,b3是等差数列,
假设{bn}是等差数列,则bn=-
1
10
+(n-1)×(
17
20
+
1
10
)
=
19
20
n-
21
20

再用数学归纳法证明:
b1=
19
20
-
21
20
=-
1
10
,成立.
②假设n=k时成立,即bk=
19
20
k-
21
20

ak+1=
3Sk
k
+k+1
ak=
3Sk-1
k-1
+k

∴3Sk-3Sk-1=3ak=kak+1-k(k+1)-(k-1)ak+k(k-1),
整理,得ak+1=2+
2ak
k
+ak

bk=
ak
k
,即ak=kbk代入,得:
bk+1=
2+2bk+kbk
k+1

=
19k2+17k-2
20(k+1)

=
19
20
(k+1)-
21
20

∴bn=
19
20
n-
21
20

(3)证明:∵an=nbn=
19n2-21n
20

1
an
=
20
19n2-21n
20
19
1
n(n-1)
=
20
19
(
1
n-1
-
1
n
)
,n≥2,
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
1
a1
+
20
19
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
…+
1
n-1
-
1
n

=-10+
20
19
(1-
1
n
)
1
2

1
a1
+
1
a2
+…
1
an
1
2
点评:本题考查数列的前3项及通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意放缩法的合理运用.
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②设A(-1,9)、B(1,0),满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段;
③设F1(-1,0),F2(1,0),C(x,y)则{(x,y)|d(C,F1)+d(C,F2)=4}⊆{(x,y)|
x2
4
+
y2
3
≤1}其中真命题有
 
(填序号)

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如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,以点C为圆心,CB为半径的圆与边DC交于点E,F是
BE
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2
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k
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B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件.

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π
2
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(2)设函数g(x)=f(x)+2cos2x,求函数g(x)在区间[-
π
6
π
4
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(2)求目标函数z的最小值,并求出相应的x,y值.

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