Question

6．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范围为[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 题意作出其平面区域，再由斜率的定义求得 $\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3，化简$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，从而求其取值范围．

解答 解：由题意作出$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$平面区域，
由$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，可得A（$\frac{13}{5}$，$\frac{7}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ x=1\end{array}\right.$，可得B（1，3）；
则 $\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
故$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$；令t=$\frac{y}{x}$，t∈$[\frac{7}{13}，3]$，
∵$t+\frac{1}{t}≥2$，当且仅当t=1时取等号，
t=3时$t+\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，
故2≤$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤$\frac{10}{3}$；
故答案为：[2，$\frac{10}{3}$]．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．