Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R），求数列{b_n}前n项和的公式．

Answer 1

分析：（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．
（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
又a₁=2，得d=2．
∴a_n=2n．
（2）当x=0时，b_n=0，S_n=0，
当x≠0时，令S_n=b₁+b₂+…+b_n，
则由b_n=a_nxⁿ=2nxⁿ，得
S_n=2x+4x²++（2n-2）x^n-1+2nxⁿ，①
xS_n=2x²+4x³++（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹．②
当x≠1时，①式减去②式，得
（1-x）S_n=2（x+x²++xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=

2x(1-xn)

1-x

-2nxⁿ⁺¹．
∴S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．
当x=1时，S_n=2+4++2n=n（n+1）．
综上可得，当x=1时，S_n=n（n+1）；
当x≠1时，S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．

点评：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备．