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14.在平面内,可以用面积法证明下面的结论:从三角形内部任意一点,向各边引垂线,其长度分别为pa,pb,pc,且相应各边上的高分别为ha,hb,hc,则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}+\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}+\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=1.
请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论.

分析 类比结论:从四面体内部任意一点向各面引垂线,其长度分别为pa,pb,pc,pd,且相应各面上的高分别为ha,hb,hc,hd.则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=1,由三棱锥的体积公式可证明.

解答 解:类比结论:从四面体内部任意一点向各面引垂线,其长度分别为pa,pb,pc,pd
且相应各面上的高分别为ha,hb,hc,hd.则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=1.
证明:$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{p}_{a}}{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{h}_{a}}$=$\frac{VP-BCD}{VA-BCD}$,
同理有$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$=$\frac{VP-CDA}{VB-CDA}$,$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=$\frac{VP-BDA}{VC-BDA}$,$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=$\frac{VP-ABC}{VD-ABC}$,
又VP-BCD+VP-CDA+VP-BDA+VP-ABC=VA-BCD
∴$\frac{pa}{ha}$+$\frac{pb}{hb}$+$\frac{pc}{hc}$+$\frac{pd}{hd}$=$\frac{VP-BCD+VP-CDA+VP-BDA+VP-ABC}{VA-BCD}$=1.

点评 本题考查类比推理,谁三棱锥的体积公式,属中档题.

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