Question

14．在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p_a，p_b，p_c，且相应各边上的高分别为h_a，h_b，h_c，则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}+\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}+\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=1．
请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

Answer 1

分析 类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p_a，p_b，p_c，p_d，且相应各面上的高分别为h_a，h_b，h_c，h_d．则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=1，由三棱锥的体积公式可证明．

解答 解：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p_a，p_b，p_c，p_d，
且相应各面上的高分别为h_a，h_b，h_c，h_d．则有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=1．
证明：$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{p}_{a}}{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{h}_{a}}$=$\frac{VP-BCD}{VA-BCD}$，
同理有$\frac{{p}_{b}}{{h}_{b}}$=$\frac{VP-CDA}{VB-CDA}$，$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=$\frac{VP-BDA}{VC-BDA}$，$\frac{{p}_{d}}{{h}_{d}}$=$\frac{VP-ABC}{VD-ABC}$，
又V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-BDA+V_P-ABC=V_A-BCD，
∴$\frac{pa}{ha}$+$\frac{pb}{hb}$+$\frac{pc}{hc}$+$\frac{pd}{hd}$=$\frac{VP-BCD+VP-CDA+VP-BDA+VP-ABC}{VA-BCD}$=1．

点评 本题考查类比推理，谁三棱锥的体积公式，属中档题．