Question

已知椭圆的短轴长为2，且与抛物线有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段GH的长度的最小值；
（Ⅲ）在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由椭圆和抛物线有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a²=b²+c²，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当GH的长度取最小值时，可求直线AP的方程及点P，若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离是定值，利用点到直线的距离公式可解．
解答：解：（I）由已知得，抛物线的焦点为，则，又b=1．
由a²-b²=c²，可得a²=4．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），从而．
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
设P（x₁，y₁），则．所以，从而．
即，又B（2，0），
则直线PB的斜率为．
由得
所以H（-12k+2，3）．
故．
又k＞0，．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，线段GH的长度取最小值8．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当GH的长度取最小值时，．
则直线AP的方程为x-2y+2=0，此时P（0，1），．
若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，
所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上．
设直线．
则由得x²+2tx+2t²-2=0．
△=4t²-8（t²-1）≥0．即t²≤2．
由平行线间的距离公式，得，
解得t=0或t=2（舍去）．
可求得或．
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的定义、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，