Question

实数a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式正确的是（　　）

A．a^b＜b^a

B．a^-b＜b^-b

C．a^-a＜b^-b

D．b^b＜a^b

Answer 1

分析：选项A可由指数函数y=a^x和幂函数y=x^a的单调性可得；选项BD均可由幂函数的单调性推翻，而选项C可举特值证明a^-a＞b^-b，从而可得答案．

解答：解：选项A，由指数函数y=a^x单调递减可得a^b＜a^a，
再由幂函数y=x^a单调递增可得a^a＜a^b，故可得a^b＜b^a，A正确；
选项B，由幂函数y=x^-b在（0，1）单调递减，可推出a^-b＞b^-b，故B错误；
选项C，可取a=

1

3

，b=

1

2

，可得a^-a=(

1

3

)-

1

3

=3

1

3

=

3	3

=

6	9

，b^-b=(

1

2

)-

1

2

=2

1

2

=

2

=

6	8

，
显然有

6	9

＞

6	8

，即a^-a＞b^-b，故C错误；
选项D，由幂函数y=x^b在（0，1）单调递增，可推出a^b＜b^b，故D错误；
故选A

点评：本题考查不等关系和不等式，涉及幂函数指数函数的单调性，属基础题．