Question

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（0，4），动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=y2
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点M（x₀，y₀）（x₀≠0）做两条倾斜角互补的弦MA、MB，其中A、B在曲线C上，证明：曲线C在点M处切线的斜率与弦AB的斜率之和为0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先表示

MO

=(-x，-y)，

ME

=(-x，4-y)，利用向量的数量积的定义可求

MO

•

ME

（Ⅱ）由题意可设MA：y-y₀=k（x-x₀），联立方程

y-y0=k(x-x0) x2=4y

，由方程的根与系数的关系可得，可求x_A，进而A，同理可求，利用斜率公式可求，KAB=

yA-yB

xA-xB

，利用导数的几何意义可得，y′|x=x₀=(

x2

4

)′|x=x0，从而可证

解答：解：（Ⅰ）∵E（0，4），M（x，y）
∴

MO

=(-x，-y)，

ME

=(-x，4-y)
∴

MO

•

ME

=（-x，-y）•（-x，4-y）=x²-4y+y²=y²
∴点M的轨迹方程为x²=4y…4分
（Ⅱ）由题意可设MA的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
联立方程l

y-y0=k(x-x0) x2=4y

可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0
由方程的根与系数的关系可得，x_A+x₀=4k（7分）
∴A(4k-x0，

(4k-x0)2

4

)
同理B(-4k-x0，

(4k+x0)2

4

)（9分）
∵KAB=

yA-yB

xA-xB

=-

1

2

x0（10 ）
而y′|x=x₀=(

x2

4

)′|x=x0
∴′K_AB+y′|x=x₀=0（12分）

点评：本题以向量的数量积为载体，主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数的应用，导数的几何意义等知识的综合应用，属于综合性试题