Question

冰岛南部一冰川火山口当地时间2010年3月20日发生大规模爆发性喷火，周边飞扬了大量火山灰．火山喷发停止后，为测量的需要，距离喷口中心50m内的圆环面为第1区、50m至100m的圆环面为第2区、100m至150m的圆环面为第3区、…、第50（n-1）m至50nm的圆环面为第n区，…．现测得第1区火山灰平均每平方米为1t、第2区每平方米火山灰的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，…，以此类推．
（1）若第n区每平方米火山灰的重量为a_nkg，请写出a_n的表达式；
（2）第几区内的火山灰总重量最大？
（3）该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨？

Answer 1

分析：（1）由题意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）设第n区内的面积为b_nm²，第n区火山灰总重量最大，则

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得第50区火山灰的总重量最大．
（3）设该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为S_n万吨．S n=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2++

(2n-1)π

4

qn-1.qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3++

(2n-1)π

4

qn再由错位相减可知该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量．

解答：解：（1）a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）设第n区内的面积为b_nm²，
则b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）．
则第n区内火山灰的总重量为C_n=a_nb_n=2500π（2n-1）（1-2%）^（n-1）（t）
=

π

4

(2n-1)(0.98)n-1（万吨）．
设第n区火山灰总重量最大，
则

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得49

1

2

≤n≤50

1

2

，∴n=50．
即得第50区火山灰的总重量最大．
（3）设该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为S_n万吨．
S_n=C₁+C₂++C_n，q=1-0.02，
则S n=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2++

(2n-1)π

4

qn-1.①
∴qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3++

(2n-1)π

4

qn．②
①-②得(1-q)Sn=

π

4

+

π

2

(q+q2++qn-1)-

(2n-1)π

4

qn．
∴Sn=

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn．
该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn万吨．

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细计算．