Question

【题目】如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设

Ⅰ为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使与的面积之和最小；

Ⅱ为节省建设成本，求使的值最小时AE和BF的值．

Answer 1

【答案】(1) 当km，km时，与的面积之和最小.

(2) 当为，且为时，的值最小.

【解析】

试题分析：（1）用角表示，从而表示三角形的面积，求出面积之和用基本不等式求最小值，求出等号成立时的，即可确定的位置；

（2） 用角表示，构建函数，用导数与最值的关系求之即可．

试题解析：（1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8，则．

所以． 2分

同理在Rt△PBF中，，PB＝1，则，

所以． 4分

故△PAE与△PFB的面积之和为5分

=8，

当且仅当，即时，取“＝”，

故当km，km时，与的面积之和最小． 6分

（2）在Rt△PAE中，由题意可知，则．

同理在Rt△PBF中，，则．

令，， 8分

则， 10分

令，得，记，，

当时，，单调减；

当时，，单调增．

所以时，取得最小值， 12分

此时，．

所以当km，且km时，PE+PF的值最小． 14分