Question

10．如图，三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．
①确定点E的位置；
②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，由已知推导出AM∥EF，从而得到AE=$\frac{1}{3}AC=2\sqrt{2}$．
②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，则∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，由此能求出直线PE与平面PAB所成角的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA=AB，点M为PB的中点，∴AM⊥PB，
∵BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，∴AM⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AM⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，
∵AM∥平面PEN，平面AMC∩平面PEN=EF，AM?平面AMC，
∴AM∥EF，
∴AE=$\frac{1}{3}AC=2\sqrt{2}$．
②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∴EH⊥平面PAB，
∴∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，
∵EH=$\frac{1}{3}BC=2$，AH=$\frac{1}{3}AB=2$，∴PH=2$\sqrt{7}$，
∴tan$∠EPH=\frac{EH}{PH}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线PE与平面PAB所成角的正切值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．