Question

14．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设E是棱CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥AE
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）求锐二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，AE，推导出BD⊥AC，EC⊥BD，由此能证明BD⊥AE．
（2）连接AC₁，设 AC₁∩B₁D=G，连接GE，则AC∥GE，由此能证明AC∥平面B₁DE．
（3）连结DE、BE，取BD中点O，连结EO，CO，则EO⊥BD，CO⊥BD，∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，由此能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 证明：（1）连接BD，AE，
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵E是棱CC₁的中点，∴EC⊥底面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴EC⊥BD，
又EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，
∵AE?平面AEC，∴BD⊥AE．（4分）
（2）连接AC₁，设 AC₁∩B₁D=G，连接GE，
则G为AC₁中点，而E为C₁C的中点，
∴GE为三角形ACC₁的中位线，∴AC∥GE，
∵GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE．（8分）
解：（3）连结DE、BE，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则CE=1，DE=BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
取BD中点O，连结EO，CO，则EO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，
OC=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴OE=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠EOC=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．