分析 (1)设出M,A的坐标,确定动点之间坐标的关系,利用端点A在圆(x-4)2+y2=100上运动,可得轨迹方程.
(2)将直线l的方程变形提出m,根据直线方程的斜截式,求出直线恒过点(1,1),直线l截圆所得的弦最长时,一定过圆心;当弦长最短时,直线的斜率,即可求得直线方程.
解答 解:(1)设线段AB中点为M(x,y),A(m,n),则m=2x-4,n=2y-6
∵端点A在圆(x-4)2+y2=100运动,
∴(m-4)2+n2=100,
∴(2x-8)2+(2y-6)2=100
∴(x-4)2+(y-3)2=25
∴线段AB中点M的轨迹是以(4,3)为圆心,5为半径的圆.
(2)∵直线L:mx-y+1-m=0即为y=m(x-1)+1
∴直线l恒过(1,1),在圆(x-4)2+(y-3)2=25的内部
被圆截得的弦最长的直线一定过圆心,方程为y-1=$\frac{3-1}{4-1}$(x-1),即2x-3y+1=0,此时m=$\frac{2}{3}$;
它的圆心为C(4,3),由弦长最短,可得最短时,直线的斜率为-$\frac{3}{2}$,故直线的方程为3x+2y-5=0,此时m=-$\frac{3}{2}$.
点评 本题考查轨迹方程,考查代入法的运用,确定动点之间坐标的关系是关键.判断直线与圆的位置关系,一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断,有时也可转化为直线恒过的点来判断.
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A. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | B. | [$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | C. | (-∞,$\frac{1}{3}$) | D. | [$\frac{1}{4}$,+∞) |
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A. | {0} | B. | {0,3} | C. | {-1,0,3} | D. | {0,3,4} |
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