【题目】已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)设函数的导函数是,若不等式对于任意的实数恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,是函数的导函数,若函数存在两个极值点,,且,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(Ⅰ)当时,,(1).,可得(1).利用点斜式即可得出切线方程.
(Ⅱ),.不等式,化为:.令在上恒成立,(1).可得在上恒成立,化为:即可得出.
(Ⅲ)根据可得和关于x的函数表达式,根据存在两个极值点,,可得=0在上有两个不等实数根,.因此,得出a的取值范围.并根据,满足,代入简化,利用导数研究其单调性即可得出结果.
解:(Ⅰ)当时,,(1).
,(1).
曲线在点(1,)处的切线方程为:,化为:.
(Ⅱ),.
不等式,即,化为:.
令在上恒成立,(1).
在上恒成立,化为:.
的取值范围是.
(Ⅲ)设函数,
,.
存在两个极值点,,
在上有两个不等实数根,.
因此,且,.
解得.
,,满足,
.
化为:.
,.
化为:,
令(a),,(1).
,
(a)在上单调递增,
.
实数的取值范围是.
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【题目】如图,椭圆的离心率为,以椭圆的上顶点为圆心作圆,
,圆与椭圆在第一象限交于点,在第二象限交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求出此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于的一点,且直线分别与轴交于点为坐标原点,求证:
为定值.
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【题目】如图,在四棱锥中,,,,,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得,若存在,求出线段的长,若不存在,说明理由.
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【题目】设数列的前n项和为,对任意正整数n,皆满足(实常数).在等差数())中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)试判断数列能否成等比数列,并说明理由;
(3)若,,求数列的前n项和,并计算:(已知).
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【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的值域;
(3)若,过原点分别作曲线的切线、,且两切线的斜率互为倒数,求证:.
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【题目】已知双曲线C和椭圆有公共的焦点,且离心率为.
(1)求双曲线C的方程.
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程并求弦长.
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