【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数的导函数是
,若不等式
对于任意的实数
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)设函数,
是函数
的导函数,若函数
存在两个极值点
,
,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(Ⅰ)当时,
,
(1)
.
,可得
(1)
.利用点斜式即可得出切线方程.
(Ⅱ),
.不等式
,化为:
.令
在
上恒成立,
(1)
.可得
在
上恒成立,化为:
即可得出.
(Ⅲ)根据可得
和
关于x的函数表达式,根据
存在两个极值点
,
,可得
=0在
上有两个不等实数根
,
.因此
,得出a的取值范围.并根据
,
满足
,代入简化,利用导数研究其单调性即可得出结果.
解:(Ⅰ)当时,
,
(1)
.
,
(1)
.
曲线
在点(1,
)处的切线方程为:
,化为:
.
(Ⅱ),
.
不等式,即
,化为:
.
令在
上恒成立,
(1)
.
在
上恒成立,化为:
.
的取值范围是
.
(Ⅲ)设函数,
,
.
存在两个极值点
,
,
在
上有两个不等实数根
,
.
因此,且
,
.
解得.
,
,满足
,
.
化为:.
,
.
化为:,
令(a)
,
,
(1)
.
,
(a)在
上单调递增,
.
实数
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,椭圆的离心率为
,以椭圆
的上顶点
为圆心作圆,
,圆
与椭圆
在第一象限交于点
,在第二象限交于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求出此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
的一点,且直线
分别与
轴交于点
为坐标原点,求证:
为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
,
,点
在线段
上,且
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
,若存在,求出线段
的长,若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列的前n项和为
,对任意正整数n,皆满足
(实常数
).在等差数
(
))中,
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)试判断数列能否成等比数列,并说明理由;
(3)若,
,求数列
的前n项和
,并计算:
(已知
).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)求函数在区间
上的值域;
(3)若,过原点分别作曲线
的切线
、
,且两切线的斜率互为倒数,求证:
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线C和椭圆有公共的焦点,且离心率为
.
(1)求双曲线C的方程.
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程并求弦长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com