Question

已知圆方程为：
（1）直线过点且与圆交于两点,若,求直线的方程；
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴交点为，若
向量，求动点的轨迹方程.

Answer 1

解：（1）所求直线方程为或
（2）点的轨迹方程是 

此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的点斜式方程，圆的标准方程，勾股定理，垂径定理，以及点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
（1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，根据直线l过P点，由P的坐标得出直线l的方程为x=1，经验证满足题意；当直线l的斜率存在时，设出斜率为k，由P及k表示出直线l的方程，根据圆的方程找出半径r=2及圆心坐标，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，进而由弦长的一半，圆的半径r及弦心距d，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．
（2）设（），，则，由，得，代入已知点的轨迹方程中得到结论。