Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

Answer 1

分析：（1）待定系数法：由f（x）图象经过原点可设f（x）=ax²+bx（a≠0），由f（x-1）=f（x）+x-1得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）F（x）可化为F（x）=a^2x+2a^x-1，令t=a^x，则F（x）可转化为关于t的二次函数，分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，利用二次函数的单调性可得最大值，令其为14，可解得a值；

解答：解：（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，
∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．
（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，
①当a＞1时，令t=a^x，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

a

，a]，
∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，t∈[

1

a

，a]，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在[

1

a

，a]上是增函数．
∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，

1

a

]，
∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函数．
∴g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

，
综上a=

1

3

或a=3．

点评：本题考查复合函数的单调性、二次函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．