Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若C_n=2a_n×（b_n+6），求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式构造新数列，利用叠加法求出数列的通项公式，和利用等差数列求通项公式．
（2）根据（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，然后利用乘公比错位相减法求数列的前n项和．

解答： 解：（1）已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2）①，
利用递推关系式：S_n=5S_n-1-4S_n-2②
则：①-②得：a_n+1=5a_n-4a_n-1
所以：

an+1-an

an-an-1

=4（常数）
a_n-a_n-1是以a₂-a₁为首项，公比是4的等比数列．
所以：an-an-1=3•4n-1
…
a2-a1=3•40
以上（n-1）个式子相加得：an-a1=3•

(1-4n)

1-4

求得：an=4n
等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
则：设首项为b₁，公差为d，
则：根据

b6=6 b9=12

解得：b_n=2n-6
（2）由（1）得：cn=2an(bn+6)=n•4n+1
则：T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹③
4Tn=1•43+2•44+…+n•4n+2④
所以：③-④得：(-3)Tn=(42+…+4n+1)-n•4ⁿ⁺²
整理得：Tn=

16(1-4n)

(-3)

•(-

1

3

)+

n4n+2

3

=

16+(3n-1)4n+2

9

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式构造新数列，进一步求数列的通项公式，乘公比错位相减法的应用．属于中等题型．