Question

11．求函数f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域．

Answer 1

分析 化简f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x）=sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$，从而由函数的性质及基本不等式确定函数的值域．

解答 f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x）
=sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$，
∵sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$≥$\frac{5}{2}$，
（当且仅当sinx=cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）
$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$≥2，
（当且仅当sinx=cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）
∴sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$≥$\frac{9}{2}$；
故函数f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域为[$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法及三角函数与基本不等式的应用，属于基础题．