Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

Answer 1

分析：（1）由图可求得A，由T=π可求ω，x=-

π

6

时，y=0，可求φ；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求函数f（x）的单调减区间，继而可得函数f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）利用诱导公式，可将f（x）=sin（2x+

π

3

）转化为f（x）=cos2（x-

π

12

），从而可得答案．

解答：解：（1）从图知，函数的最大值为1，
则A=1，函数f（x）的周期为T=4×（

π

12

+

π

6

）=π，而T=

2π

ω

，则ω=2，
又x=-

π

6

时，y=0，
∴sin（2×（-

π

6

）+φ）=0，而|φ|＜

π

2

，则φ=

π

3

，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

π

3

）…（4分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

得：
kπ+

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．
函数f（x）的最大值为1，取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}…7分
（3）f（x）=sin（2x+

π

3

）
=cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]
=cos（2x-

π

6

）
=cos2（x-

π

12

），
故至少左移

π

12

个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数…10分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性及诱导公式的应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．