Question

（本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边 BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求证点M为边BC的中点；

   （Ⅱ）求点C到平面AMC₁的距离；

   （Ⅲ）求二面角M—AC₁—C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

       ∴AM⊥C₁M且AM=C₁M

       ∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC

       ∴C₁M在底面内射影为CM，AM⊥CM。

       ∵底面ABC为边长为a的正三角形，

       ∴点M为BC边的中点         --------------------4分

   （Ⅱ）过点C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，

       ∴AM⊥平面C₁CM      ∵CH在平面C₁CM内，∴CH⊥AM，

       ∴CH⊥平面C₁AM

       由（Ⅰ）知，

       ∴∴

       ∴点C到平面AMC₁的距离为底面边长为-------------------8分

   （Ⅲ）过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，∵CH⊥平面C₁AM，

       ∴HI为CI在平面C₁AM内的射影，

       ∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角，

       在直角三角形ACC₁中

       ，

       ∴∠CIH=45°，   ∴二面角M—AC₁—C的大小为45°