Question

已知点M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比为2．P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂满足k₁k₂=2．试推断：动直线DE有何变化规律，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）欲求点P的轨迹C对应的方程，设P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用向量条件，将点的坐标代入|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，即得；
（2）设直线DE的方程为y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系结合题中条件：“k₁•k₂=2”即可求得结果，从而解决问题．

解答：解：（1）因为点M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比为2，
所以xB=

xM+2xC

1+2

=

-5+2

1+2

=-1，yB=0．
设P（x，y）代入|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，得

(x-1)2+y2

=1+x．
化简得y²=4x．
（2）将A（m，2）代入y²=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k₁k₂=2，∴D、E两点不可能关于x轴对称，∴DE的斜率必存在．
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）
由

y=kx+b y2=4x

得k²x²+2（kb-2）x+b²=0．
∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2  (x1、x2≠1)．
且y₁=kx₁+b、y₂=kx₂+b．
∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
将x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入化简得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
（i）将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
（ii）将b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
过定点（1，2）．即为A点，不合题意，舍去．
∴直线DE恒过定点（-1，-2）．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程的问题、直线与圆锥曲线的综合问题．要能较好的解决抛物线问题，必须熟练把握好直线与抛物线的位置关系筛处理方法．