Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）在处取得极小值为，无极大值；（2）详见解析.

【解析】

（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）ex+x2．f′（x）＝xex+2x＝x（ex+2），令f′（x）＝0，解得x．即可得出极值；（2）令h（x）＝f（x）﹣ln（ax﹣1）﹣x2﹣x﹣1＝（ax﹣1）ex﹣ln（ax﹣1）﹣x﹣1．x．h′（x）＝（ax﹣1+a）ex1＝（ax﹣1+a）（ex）．令u（x）＝ex，利用导数研究其单调性极值即可得出．

（1）当时，

令得

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以在处取得极小值为，无极大值.

（2）设

则

设，则

在区间上单调递增

又，当时，，由，解得，

当时， ，故有唯一的零点

当时，，当时，

且

当时，