Question

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1对任意实数x恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性，可求出命题p为真时，c的取值范围；根据不等式恒成立的条件，可求出命题q为真时，c的取值范围；进而根据复合命题真假判断的真值表，可得命题p，q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果可得答案．

解答：解：若函数y=c^x在R上单调递减，则0＜c＜1，
即命题p为真时，0＜c＜1，
由c＞0，故命题p为假时，c≥1，
若不等式x+|x-2c|＞1对任意实数x恒成立，则|x-2c|＞-x+1对任意实数x恒成立，
当x＞1时，-x+1＜0，|x-2c|＞-x+1恒成立
当x≤1时，-x+1≥0，若|x-2c|＞-x+1恒成立
则x-2c=0，即x=2c时，|x-2c|=0＞-x+1成立
即0＞-2c+1，即c＞

1

2

，
即命题q为真时，c＞

1

2

，
由c＞0，故命题q为假时，0＜c≤

1

2

由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得命题p，q一真一假：
当p真q假时，0＜c≤

1

2

当p假q真时，c≥1
故c的取值范围为（0，

1

2

）∪（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，不等式恒成立的条件，复合命题真假判断的真值表，求出命题p，q为真时，c的取值范围，是解答的关键．