Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＞0且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$，则S_n为非负值的最大n值为20．

Answer 1

分析 设出等差数列的公差d，由$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由S_n≥0求出n的范围，再根据n为正整数求得n的值．

解答 解：设等差数列的公差为d，由$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$，
得$\frac{{a}_{1}+5d}{{a}_{1}+4d}$=$\frac{9}{11}$，
即2a₁+19d=0，解得d=-$\frac{2{a}_{1}}{19}$，
所以S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{2{a}_{1}}{19}$）≥0，
整理，得：
S_n=na₁•$\frac{20-n}{19}$≥0．
因为a₁＞0，
所以20-n≥0即n≤20，
故S_n为非负值的最大n值为20．
故答案是：20．

点评 本题考查等差数列的前n项和，考查了不等式的解法，是基础题．