Question

6．如图，已知矩形ABCD是圆柱O₁O₂的轴截面，N在上底面的圆周O₂上，AC、BD相交于点M；
（1）求证：CN⊥平面ADN；
（2）已知圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求异面直线AB与DN所成角的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CN⊥DN，CN⊥AD，由此能证明CN⊥平面ADN．
（2）以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DN所成角的大小．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD是圆柱O₁O₂的轴截面，N在上底面的圆周O₂上，
∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN?平面CDN，∴CN⊥AD，
∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．
解：（2）∵圆锥MO₁和圆锥MO₂的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，
∴MC=MD=MA=MB=2，
设AD=c，则AB=$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设D（a，0，0），C（0，b，0），则A（a，0，-c），B（0，b，-c），N（0，0，0），
$\overrightarrow{NA}$=（a，0，-c），$\overrightarrow{NC}$=（0，b，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，c），
设平面NAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NA}=ax-cz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=by=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{c}$），
∵直线BC与平面CAN所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴直线BC与平面CAN所成角的正弦值为$\frac{1}{\sqrt{13}}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{c•\sqrt{1+\frac{1}{{c}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$，解得c=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{16-12}$=2，a²+b²=AB²=4，
∵$\overrightarrow{CA}$=（a，-b，-c），平面NAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{c}$），
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}$=a-1=0，解得a=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{ND}$=（1，0，0），
设异面直线AB与DN所成角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|-1|}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴$α=\frac{π}{3}$，
∴异面直线AB与DN所成角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．