Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求出这个几何体的体积．
（3）若在PC上有一点E，满足CE：EP=2：1，求证PA∥平面BED．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=1，CD=2．由条件利用直线和平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD，从而证明BC⊥PB．
（2）由题意可得PD是这个四棱锥的高，求得底面SABCD=

1

2

×(AB+CD)×AD的值，再由 VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PD，运算求得结果．
（3）设AC交BD于O点，可得

CD

AB

=

CO

AO

=

2

1

，再由

CE

EP

=

2

1

，可得

CO

AO

=

CE

EP

=

2

1

，从而PA∥EO，由此可得PA∥平面BED．

解答：解：（1）由三视图可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=1，CD=2．
∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．…（1分）
在梯形ABCD中，PD=AD=AB=1，CD=2，∴BD=

2

，又可得BC=

2

，CD=2，∴DB⊥BC．…（2分）
又∵PD∩BD=D，BD，PD?平面PBD，∴BC⊥平面PBD．
再由PB?平面PBD，∴BC⊥PB．…（5分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD是这个四棱锥的高，…（6分）
∵底面SABCD=

1

2

×(AB+CD)×AD=

1

2

×(2+4)×2=6，…（7分）
∴VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PD=

1

3

×6×2=4…（8分）
（3）连结AC，设AC交BD于O点，∵CD∥AB，CD=2AB，∴

CD

AB

=

CO

AO

=

2

1

．（10分）
又∵

CE

EP

=

2

1

，∴

CO

AO

=

CE

EP

=

2

1

（，12分）∴PA∥EO．
EO?平面BED，PA?平面BE，∴PA∥平面BED…（14分）

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，直线和平面平行的判定定理的应用，求棱锥的体积，属于中档题．