Question

已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数和指数函数的定义域及单调性即可得出；
（2）?x₂＞x₁＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可证明f（x₂）-f（x₁）＞0；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，可得f（1）=0，又f（2）=lg2，联立即可解出．

解答：解：（1）要使函数f（x）=lg（a^x-b^x）有意义，则需要a^x-b^x＞0，（*）
∵常数a、b满足a＞1＞b＞0，∴

a

b

＞1，∴（*）化为(

a

b

)x＞1，∴x＞0．
∴y=f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）?x₂＞x₁＞0，则f（x₂）-f（x₁）=lg(ax2-bx2)-lg(ax1-bx1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

．
∵x₂＞x₁＞0，a＞1＞b＞0，∴ax2-ax1＞0，bx1-bx2＞0．
∴ax2-bx2-(ax1-bx1)=(ax2-ax1)+bx1-bx2＞0，
又ax1＞bx1，
∴

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1，
∴lg

ax2-bx2

ax1-bx1

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
∴y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，
∴f（1）=0，即lg（a-b）=0，化为a-b=1．
∵f（2）=lg2，∴lg（a²-b²）=lg2，化为a²-b²=2，
联立

a-b=1 a2-b2=2

，解得

a=1.5 b=0.5

．
∴a=1.5，b=0.5．

点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性及其运算性质，属于难题．