Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a．
（1）求截面EAC的面积；
（2）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；
（3）求三棱锥B₁-BAC的体积．

Answer 1

分析：（1）如图，利用∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，结合直角三角形中的边角关系即可求得截面EAC的面积；
（2）先证明A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线，再利用直角三角形中勾股定理即可求得线段A₁A的长度；
（3）欲求三棱锥B₁-BAC的体积，考虑到则VB1-EAC=2VA-EOB1先求三棱锥A-EOB₁的体积即可．

解答：（1）解：连接BD交AC于O，连接EO
∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角．∴∠EOD=45°.DO=

2

2

a，AC=

2

a，EO=

2

2

a•sec45°=a．
故S△EAC=

2

2

a2．
（2）解：由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC，
又A₁A⊥A₁B₁，
∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线．∵D₁B₁∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，
∴D₁B₁∥EO
又O是DE的中点，∴E是D₁D的中点，D₁B₁=2EO=2a
∴D₁D=

D1B2-DB2

=

2

a．异面直线A₁B₁与AC间的距离为

2

a．
（3）解：连接B₁O，则VB1-EAC=2VA-EOB1
∵AO⊥面BDD₁B₁，
∴AO是三棱锥A-EOB₁的高，AO=

2

2

a．
在正方形BDD₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点（如右图），则S△EOB1=

3

4

a2．
∴VB1-EAC=2•

1

3

•

3

4

a2•

2

2

a=

2

4

a3．所以三棱锥B₁-EAC的体积是

2

4

a3．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．