Question

如图，已知椭圆C：与抛物线E：y²=4x有一个公共的焦点F，且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx与抛物线E的交点为O，Q，与椭圆c的交点为M，N（N在线段OQ上），且|MO|=|NQ|． 问满足条件的直线l有几条，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线E：y²=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．
由点P在抛物线y²=4x上，所以P（，）．
又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b==，从而椭圆C的方程为 （5分）
（2）联立直线与椭圆方程得，消去y可得3x²+4k²x²=12，∴．（7分）
联立直线与抛物线得，消去y可得k²x²=4x，解得x=0或x= （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴=，
化简得3k⁴-4k²-3=0，解得k²=（负值舍去），故满足题意的k值有2个．
从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）
分析：（1）确定椭圆的焦点坐标，点P的坐标，利用点P在椭圆C上，求得a的值，根据c=1，b=，即可求得椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，可求M的坐标，联立直线与抛物线，可求Q的坐标，根据|MO|=|NQ|，可得N为线段OQ的中点，从而可建立方程，由此可得结论．
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，属于中档题．