Question

9．对任意函数f（x），x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f（x₀）；
②若x₁∉D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，将x₁反馈输入端，再输出x₂=f（x₁），并以此规律进行下去，现定义$f（x）=\frac{4x-2}{x+1}$．
（1）若输入${x_0}=\frac{49}{65}$，则由数列发生器产生数列{x_n}，写出数列{x_n}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，x0=$\frac{49}{65}$及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x_n}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$=x，从而求出相应的初始数据x₀的值；

解答 解：（1）∵函数f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴数列{x_n}只有3项，x_x=$\frac{11}{19}$，x₂=$\frac{1}{5}$，x₃=-1．
（2）令f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$=x，即x²-3x+2=0，
解得：x=2，或x=1，
故当x₀=2或x₀=1时，x_n+1=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$=x_n，
所以，输入的初始数据x₀=1时，得到常数列x_n=1；
x₀=2时，得到常数列x_n=2．

点评 本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．