(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线m:y=x+1(k>0)与点P的轨迹交于M,N两点,当·≥17时,求直线m的倾斜角α的范围;
(3)设直线h与点P的轨迹交于C,D两点,若·=-12,那么直线h一定过B点吗?请说明理由.
解:(1)由题意知,动点P到直线l的距离与到定点B的距离相等,所以P的轨迹是以B为焦点,l为准线的抛物线,其轨迹方程为x2=8y.
(2)由消去y,得x2-8x-8=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=64k+32>0,k>,x1+x2=8,x1x2=-8,y1+y2=x1+1+kx2+1=8k+2,y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=
1,·=x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4=16k+1≥17,k≥1
因为tanα≥1且0≤α<180°
所以≤α<.所以直线 m的倾斜角的范围为{α|≤α<}.
(3)设h:y=nx+b,代入x2=8y中,得x2-8nx-8b=0.设C(x3,y3),D(x4,y4).x3+x4=8n,x3x4=-8b,y3+y4=8n2+2b,y3·y4=b2,
·=x3x4+y3y4=b2-8b=-12,得b=2或b=6.此时直线过点(0,2)或(0,6),故直线不一定过B点.
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