Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点.

（1）若的中点为，,
求证：平面；
（2）如果,,求此圆锥的全面积.

Answer 1

（1）参考解析；（2）（4+4）π

解析试题分析：（1）要证明平面.已经有OH⊥SC，所以只要在平面SQB中再找一条直线与OH垂直即可，所以线线垂直要转化为线面垂直，通过连接OC，又因为OB=OQ，C为QB的中点，即可证明直线BQ⊥平面SOC.从而可得QB⊥OH.从而可得结论.
（2）因为圆锥的全面积等于底面积加上圆锥的侧面积.所以重点是要解决底面圆的半径，由题意在三角形OQB中，利用余弦定理可解得圆的半径.又因为三角形SAB是等腰直角三角形，所以可求出母线SB的长.从而根据圆锥的侧面积公式可得侧面积，从而可求得圆锥的全面积.
试题解析：①连接OC，
∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB                        2分
∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ
∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC
∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH，                              5分
∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，
∴OH⊥平面SBQ；                                          6分
②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4 8分
∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，
∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，
因此，圆锥的侧面积为S_侧=π×2×2=4π                       10分
∴此圆锥的全面积为S_侧+S_底=4π+π×2²=（4+4）π         12分
考点：1.线面垂直的判定.2.解三角形的知识.3.圆锥的全面积.