Question

已知函数f(x)=

a

x

+lnx-b在x=2处取得极值ln2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，注意函数的定义域，根据在x=2处取得极值ln2，f′（2）=0，且f（2）=ln2，求出a和b；
（2）由（1）知道f（x）的解析式，对f（x）进行求导，利用导数研究函数的单调性；
（3）对任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，即k≤f（x）_min恒成立即可，转化为求f（x）的最小值问题；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

a

x

+lnx-b在x=2处取得极值ln2．（x＞0）
∴f′（x）=

-a

x2

+

1

x

，可得f′（2）=0，所以2-a=0，解得a=2，
因为f（2）=ln2，可得1+ln2-b=ln2，解得b=1；
（2）f′（x）=

x-2

x2

（x＞0），
若f′（x）＞0，解得x＞2；
若f′（x）＜0，解得x＜2；
所以f（x）的单调增区间：（2，+∞）；
f（x）的单调减区间：（0，2）；
（3）对任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，
∴k≤f（x），只要f（x）的最小值大于l即可，
因为f（x）的单调增区间：（2，+∞）；
f（x）的单调减区间：（0，2）；
f（x）在x=2处取得极小值，也是最小值，f（x）_min=f（2）=ln2，
∴k≤ln2；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，是一道基础题，第三问用到了转化的思想，这也是高考常考的考点；