精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2008•西城区二模)设a∈R,函数f(x)=3x3-4x+a+1.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意x∈[-2,0],不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值.
分析:(I)先求出函数f(x)的导函数fˊ(x),然后解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,即可求出函数f(x)的单调区间;
(II)根据对于任意x∈[-2,0],不等式f(x)≤0恒成立,将a分离出来,然后研究另一侧函数的最值即可求出a的最值.
解答:(Ⅰ)解:f(x)的导数f′(x)=9x2-4.
令f′(x)>0,解得x>
2
3
,或x<-
2
3

令f′(x)<0,解得-
2
3
<x
2
3

从而f(x)的单调递增区间为(-∞,-
2
3
)
(
2
3
,+∞)

单调递减区间为(-
2
3
2
3

(Ⅱ)解:由f(x)≤0,得-a≥3x3-4x+1
由(Ⅰ)得,函数y=3x3-4x+1在(-2,
2
3
)内单调递增,
在(-
2
3
,0)内单调递减,
从而当x=-
2
3
时,函数y=3x3-4x+1取得最大值
25
9

因为对于任意x∈[-2,0],不等式f(x)≤0恒成立,
故-a≥
25
9
,即a≤-
25
9

从而a的最大值是-
25
9
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•西城区二模)函数y=logax,(a>0,且a≠1)的图象按向量
n
=(-3,1)平移后恰好经过原点,则a等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•西城区二模)已知点P(x,y)的坐标满足条件
x≥0
y≥0
x+y-2≤0
,则2x-y的最大值是
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•西城区二模)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使平面ACD⊥平面ABC,则折起后B,D两点的距离为
1
1
;直线BD和平面ABC所成角的大小是
45°
45°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•西城区二模)设甲,乙两人每次投球命中的概率分别是
1
3
1
2
,且两人各次投球是否命中相互之间没有影响.
(Ⅰ)若两人各投球1次,求两人均没有命中的概率;
(Ⅱ)若两人各投球2次,求乙恰好比甲多命中1次的概率.

查看答案和解析>>

同步练习册答案