Question

（本小题满分14分）广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为万美元，可获得加工费近似为万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失万美元，其中为该时段美元的贬值指数，，从而实际所得的加工费为（万美元）.
（Ⅰ）若某时期美元贬值指数，为确保企业实际所得加工费随的增加而增加，该企业加工产品订单的金额应在什么范围内？
（Ⅱ）若该企业加工产品订单的金额为万美元时共需要的生产成本为万美元，已知该企业加工生产能力为（其中为产品订单的金额），试问美元的贬值指数在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.

Answer 1

（Ⅰ）加工产品订单的金额，该企业实际所得加工费随的增加而增加.
（Ⅱ）当美元的贬值指数时，该企业加工生产不会亏损.

解析试题分析：(I)当时，,然后求导根据导数大于零求得x的取值范围.
(II)搞清本小题不会出现亏损，也就是当时，都有
,即恒成立,然后构造函数,利用导数研究它的最小值即可.
（Ⅰ）由已知得：，其中
所以，由，即，
解得
即加工产品订单的金额，该企业实际所得加工费随的增加而增加.
··································· 5分
（Ⅱ）依题设企业加工生产将不会出现亏损，则当时，都有
，······················· 7分
由得：
令，则
·········· 8分
令，则
········ 10分
可知在上单调递减，从而，··· 11分
所以，可知在上单调递减，因此，即   13分
故当美元的贬值指数时，该企业加工生产不会亏损. 14分
考点： 数学模型的建立，导数在求最值，单调区间中的应用.
点评：本小题关键是理解实际问题当中的要求如何通过数学方法实现，如企业实际所得加工费随的增加而增加本质就是求函数f(x)的单调增区间.企业加工生产将不会出现亏损本质就是当时，不等式恒成立问题.