Question

现有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（Ⅰ）分为三份，每份2本；
（Ⅱ）分给甲、乙、丙三人每人2本；
（Ⅲ）分给甲、乙、丙三人；
（Ⅳ）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
（最后结果请用数字表示）．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：应用题,排列组合

分析：（Ⅰ）平均分成三份，每份2本．这是平均分组问题，列举（AB，CD，EF），（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）是一种分法，求出组合总数除以A³₃即可；
（Ⅱ）把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论；
（Ⅲ）分给甲、乙、丙三人，每本书都有3种分法，故可得结论；
（Ⅳ）分为3类：411，321，222，利用排列组合知识，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）无序均匀分组问题．先分三步，则应是C²₆C²₄C²₂种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C²₆C²₄C²₂种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A³₃种情况，而这A³₃种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

=15种．
（Ⅱ）把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，
先从6本书中取出2本给甲，有C₆²种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有C₄²种取法，
最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C₆²×C₄²×1=90种分法；
（Ⅲ）分给甲、乙、丙三人，每本书都有3种分法，故共有6³=216种分法
（Ⅳ）分为3类：①411，

C

1 6

C

1 5

C

1 3

=90；②321，C₆¹×C₅²×A³₃=360种；③222，C₆²×C₄²×C₂²=90种，
故共有90+360+90=540种．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力．