Question

【题目】设．求最小的正整数n，使得对A的任意11个子集，只要它们中任何5个的并的元素个数都不少于n，则这11个子集中一定存在3个，它们的交非空．

Answer 1

【答案】22

【解析】

n的最小值为22．

首先证明：．令，，

，．

显然，，，，，．

于是，对其中任何三个子集，必有两个同时为或者同时为，其交为空集．对其中任何五个子集，

有

，且任何三个子集的交为空集，故．

其次证明：符合条件．假定存在A的11个子集，它们中任何五个的并不少于22个元素，而任何三个的交都为空集．因每个元素至多属于两个子集，不妨设每个元素恰好属于两个子集（否则，在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立）．由抽屉原理，此11个子集中必有一个子集（设为B）至少含有个元素．又设其他10个子集为，那么，不含B的任何五个子集，都对应A中的至少22个元素，所有不含B的5—子集组一共至少对应个元素．

另一方面，对于元素a，若，则中有两个含有a，于是，a被计算了次；若，则中有一个含有a，于是，a被计算了次．从而， ．

由此可得，矛盾．

综上所述，n的最小值为22．