设数列{an}中,若an+1=an+an+2,(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.
(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;
(2)在“凸数列”{an}中,求证:an+6=an,n∈N*;
(3)设a1=a,a2=b,若数列{an}为“凸数列”,求数列前n项和Sn.
分析:(1)分别令n=2,3,4,5,由题设条件能够得到a
1,a
2,a
3,a
4,a
5,a
6的值,从而能够求出S
6.
(2)由条件得
| an+1=an+an+2 | an+2=an+1+an+3 |
| |
,a
n+3=-a
n,由此知a
n+6=-a
n+3=a
n.
(3)由题设条件能够知a
1=a,a
2=b,a
3=b-a,a
4=-a,a
5=-b,a
6=a-b.S
6=0.再由S
6n+k=S
k,n∈N
*,能够导出数列前n项和S
n.
解答:解:(1)a
1=1,a
2=-2,a
3=-3,a
4=-1,a
5=2,a
6=3,
∴S
6=0.(4分)
(2)由条件得
| an+1=an+an+2 | an+2=an+1+an+3 |
| |
,
∴a
n+3=-a
n,(6分)∴a
n+6=-a
n+3=a
n,即a
n+6=a
n.(8分)
(3)a
1=a,a
2=b,a
3=b-a,a
4=-a,a
5=-b,a
6=a-b.
∴S
6=0.(10分)
由(2)得S
6n+k=S
k,n∈N
*,k=1,,6.(12分)
∴
Sn= | 0 | n=6k | a | n=6k+1 | a+b | n=6k+2 | 2b | n=6k+3 | 2b-a | n=6k+4 | b-a | n=6k+5 |
| |
,k∈N
*(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意数列递推式的灵活运用.