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设数列{an}中,若an+1=an+an+2,(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.
(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;
(2)在“凸数列”{an}中,求证:an+6=an,n∈N*
(3)设a1=a,a2=b,若数列{an}为“凸数列”,求数列前n项和Sn
分析:(1)分别令n=2,3,4,5,由题设条件能够得到a1,a2,a3,a4,a5,a6的值,从而能够求出S6
(2)由条件得
an+1=an+an+2
an+2=an+1+an+3
,an+3=-an,由此知an+6=-an+3=an
(3)由题设条件能够知a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b.S6=0.再由S6n+k=Sk,n∈N*,能够导出数列前n项和Sn
解答:解:(1)a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=-1,a5=2,a6=3,
∴S6=0.(4分)
(2)由条件得
an+1=an+an+2
an+2=an+1+an+3

∴an+3=-an,(6分)∴an+6=-an+3=an,即an+6=an.(8分)
(3)a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b.
∴S6=0.(10分)
由(2)得S6n+k=Sk,n∈N*,k=1,,6.(12分)
Sn=
0n=6k
an=6k+1
a+bn=6k+2
2bn=6k+3
2b-an=6k+4
b-an=6k+5
,k∈N*(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意数列递推式的灵活运用.
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(2)在“凸数列”{an}中,求证:an+3=-an,n∈N*
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-1
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