Question

如图，已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA₁＝，M是CC₁的中点，求证：AB₁⊥A₁M．

Answer 1

答案：
解析：

证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴　AC＝A1C1＝． 　　设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β∴　tanα＝＝＝， 　　tgβ＝＝＝．∵cot(α＋β)＝＝＝0， 　　∴α＋β＝90°即AC1⊥A1M．∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1， 　　AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影．∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1． 　　评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α＋β＝90°，与常见的其他题目不太相同．

提示：

不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影．欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了．