Question

19．在直角坐标系xoy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（I）．求C₂与C₁交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，相除法即可得出直角坐标方程．曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角标准方程：x²+y²=2y，联立即可解出．
（II）曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化为ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化为直角标准方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，联立即可解出．利用两点之间的距离公式与三角函数的单调性即可得出|AB|的最大值是4．

解答 解：（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，化为直角坐标方程：y=xtanα，0≤α＜π，
曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，化为直角标准方程：x²+y²=2y，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化为（1+tan²α）x²-2xtanα=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=sin2α}\\{y=2si{n}^{2}α}\end{array}\right.$．
∴交点直角坐标（0，0），（sin2α，2sin²α）．
（II）曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化为ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，化为直角标准方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
化为（1+tan²α）x²-2$\sqrt{3}$x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}co{s}^{2}α}\\{y=\sqrt{3}sin2α}\end{array}\right.$．
∴交点直角坐标（0，0），（$2\sqrt{3}co{s}^{2}α$，$\sqrt{3}$sin2α）．
|AB|=$\sqrt{（sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α）^{2}+（2si{n}^{2}α-\sqrt{3}sin2α）^{2}}$=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$，
∵0≤α＜π，∴$-\frac{π}{6}$≤2α$-\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴$sin（2α-\frac{π}{6}）$∈[-1，1]．
∴|AB|=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$≤4，当$sin（2α-\frac{π}{6}）$=-1，即α=$\frac{5π}{6}$时取等号．
∴|AB|的最大值是4．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程、两点之间的距离公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．