【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)根据菱形性质得MB⊥BC,再根据射影定义得PM⊥平面ABCD ,即得PM⊥BC ,由线面垂直判定定理得BC⊥平面PMB,最后根据面面垂直判定定理得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解平面PMC法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
试题解析: (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,
且M是AD的中点,∴MB⊥AD,∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点,
∴PM⊥平面ABCD,
又∵BC平面ABCD,∴PM⊥BC,
而PM∩MB=M,PM,MB平面PMB,
∴BC⊥平面PMB,又BC平面PBC,
∴平面MPB⊥平面PBC.
(2)解 法一 过点B作BH⊥MC,连接HN,
∵PM⊥平面ABCD,BH平面ABCD,∴BH⊥PM,
又∵PM,MC平面PMC,PM∩MC=M,
∴BH⊥平面PMC,
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影,
∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角,
在菱形ABCD中,设AB=2a,则MB=AB·sin 60°=a,
MC==a.
又由(1)知MB⊥BC,
∴在△MBC中,BH==a,
由(1)知BC⊥平面PMB,PB平面PMB,
∴PB⊥BC,∴BN=PC=a,
∴sin∠BNH===.
法二 由(1)知MA,MB,MP两两互相垂直,以M为坐标原点,以MA,MB,MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,不妨设MA=1,
则M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),C(-2,,0),
∵N是PC的中点,∴N,
设平面PMC的法向量为n=(x0,y0,z0),
又∵=(0,0,),=(-2,,0),
∴即
令y0=1,则n=,|n|=,
又∵=,||=,
|cos〈,n〉|==.
所以,直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.
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【题目】如图是1,2两组各7名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设1,2两组数据的平均数依次为1和2,标准差依次为s1和s2,那么( )
(注:标准差,其中为x1,x2,…,xn的平均数)
A.1>2,s1>s2
B.1>2,s1<s2
C.1<2,s1<s2
D.1<2,s1>s2
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【题目】设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且.记(i1,2,3,4).
(1)求证:数列不是等差数列;
(2)设, .若数列是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;
(3)数列能否为等比数列?并说明理由.
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【题目】某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为100分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:
(1)写出的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)现从成绩在内的学生中任选出两名同学,从成绩在内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若同学的数学成绩为43分,同学的数学成绩为分,求两同学恰好都被选出的概率.
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【题目】如图,正方体的棱长为2,、分别为棱、上的点,且与顶点不重合.
(1)若直线与相交于点,求证:、、三点共线;
(2)若、分别为、的中点.
(ⅰ)求证:几何体为棱台;
(ⅱ)求棱台的体积.
(附:棱台的体积公式,其中、分别为棱台上下底面积,为棱台的高)
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【题目】某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对两位选手,随机调查了20个学生的评分,得到下面的茎叶图:
所得分数 | 低于60分 | 60分到79分 | 不低于80分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 复赛待选 | 直接晋级 |
(1)通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流,根据所得分数,估计两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大,并说明理由.
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【题目】已知方程(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2).
(1)证明:对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标;
(2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于.
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【题目】某校某班在一次数学测验中,全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下,已知分数在110~120的学生有14人.
(1)求总人数N和分数在120~125的人数n;
(2)利用频率分布直方图,估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少?
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