【题目】已知函数，其中．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.

【题目】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，底面点是的中点．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值．

【题目】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，记∠BHE＝．

（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；

（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．

【题目】已知函数在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为___________，方程的实根个数为__________.

【题目】已知椭圆：，过上一动点作轴，垂足为点．当点满足时，点的轨迹恰是一个圆．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若与曲线切于点的直线与椭圆交于，两点，且当轴时，，求的最大面积．

【题目】某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．

（1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：

（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．

附：

【题目】在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数．

(Ⅰ)求的概率；

(Ⅱ)记求随机变量的概率分布列和数学期望．

【题目】我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有60人的班级进行问卷调查，得到如下的列联表：

已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是．

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．

参考临界值表：

参考公式：其中