【题目】如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，为棱的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

【题目】设为实数，已知，

（1）若函数，求的值；

（2）当时，求证：函数在上是单调递增函数；

（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．证明：直线平面.

【题目】如图，矩形和等边三角形中， ，平面平面．

（1）在上找一点，使，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．

【题目】如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题.

（1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；

（2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.

【题目】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．

【题目】有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝ .今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？

【题目】圆台的上、下底面半径分别为、，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点（在下底面），求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

【题目】已知是奇函数（e为自然对数的底数）.

（1）求实数a的值；

（2）求函数在上的值域；

（3）令，求不等式的解集.