【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为， ，且离心率为， 为椭圆上任意一点，当时， 的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线， 分别与椭圆交于点， ，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证： 为定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设由题，由此求出,可得椭圆的方程；

（2）设， ，

当直线的斜率不存在时，可得；

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，，

设直线的方程为，则由消去通过运算可得

，同理可得，由此得到直线的斜率为，

直线的斜率为，进而可得.

试题解析：（1）设由题，

解得，则，

椭圆的方程为.

（2）设， ，

当直线的斜率不存在时，设，则，

直线的方程为代入，可得，

， ，则，

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，，

设直线的方程为，则由消去可得：

，

又，则，代入上述方程可得

，

，则

，

设直线的方程为，同理可得，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

.

所以，直线与的斜率之积为定值，即.

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数， ，在处的切线方程为.

（1）求， ；

（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .

【题目】已知圆，直线与圆相交于不同的两点，点是线段的中点。

（1）求直线的方程；

（2）是否存在与直线平行的直线，使得与与圆相交于不同的两点，不经过点，且的面积最大？若存在，求出的方程及对应的的面积S；若不存在，请说明理由。

【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；

（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：

回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.

（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. 求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；

①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，由此可求出这100天中甲方案的日薪平均数及方差：同理可求出这100天中乙两种方案的日薪平均数及方差，

②不同的角度可以有不同的答案

试题解析：（（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式为： ，

乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

，

（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则

，

，

乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则

，

②、答案一：

由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：

由以上的计算结果可以看出， ，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为， ，且离心率为， 为椭圆上任意一点，当时， 的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线， 分别与椭圆交于点， ，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证： 为定值.

【题目】已知圆，直线与圆相交于不同的两点，点是线段的中点。

（1）求直线的方程；

（2）是否存在与直线平行的直线，使得与与圆相交于不同的两点，不经过点，且的面积最大？若存在，求出的方程及对应的的面积S；若不存在，请说明理由。

【题目】四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.

（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；

（2）求点B到平面SAD的距离.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由平面，可证，进而证得四边形为平行四边形，根据，可得；

（2）利用等体积法可求点到平面的距离.

试题解析：（（1）因为平面SDM，

平面ABCD，

平面SDM 平面ABCD=DM，

所以，

因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点.

因为，

.

（2）因为 ， ，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面，

平面平面，

在平面内过点作直线于点，则平面，

在和中，

因为，所以，

又由题知，

所以，

由已知求得，所以，

连接BD，则，

又求得的面积为，

所以由点B 到平面的距离为.

【题型】解答题
【结束】
19

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；

（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 时，日平均派送量为单.

若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.

（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

【题目】已知是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为，由a3=7，且、、成等比数列．可得，解之得即可得出数列的通项公式；

2）由（1）得，则，由裂项相消法可求数列的前项和.

试题解析：（1）设数列的公差为，且由题意得，

即 ，解得，

所以数列的通项公式.

（2）由（1）得

，

.

【题型】解答题
【结束】
18

【题目】四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.

（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；

（2）求点B到平面SAD的距离.

【题目】已知函数，，若函数有三个不同的零点，，（其中），则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】如图：

，，作出函数图象如图所示

，，作出函数图象如图所示

，由有三个不同的零点

，如图

令

得

为满足有三个零点，如图可得

，

点睛：本题考查了函数零点问题，先由导数求出两个函数的单调性，继而画出函数图像，再由函数的零点个数确定参量取值范围，将问题转化为函数的两根问题来求解，本题需要化归转化，函数的思想，零点问题等较为综合，有很大难度。

【题型】填空题
【结束】
17

【题目】已知等比数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

【题目】在极坐标系中，曲线，曲线，点，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）过点的直线交于点，交于点，若，求的最大值.

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．