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【题目】如图所示,椭圆的左、右顶点分别为,离心率,长轴与短轴的长度之和为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取点(与两点不重合),直线交轴于点,直线交轴于点,证明:为定值.
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【题目】我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准,为此,对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查,并获得了个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如下表所示.
(Ⅰ)分别求出的值;
(Ⅱ)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭平均用水量;
(Ⅲ)从样本中年用水量在(单位:立方米)的个家庭中任选个,作进一步跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(个家庭的年用水量都不相等).
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【题目】已知O是平面直角坐标系的原点,双曲线.
(1)过双曲线的右焦点作x轴的垂线,交于A、B两点,求线段AB的长;
(2)设M为的右顶点,P为右支上任意一点,已知点T的坐标为,当的最小值为时,求t的取值范围;
(3)设直线与的右支交于A,B两点,若双曲线右支上存在点C使得,求实数m的值和点C的坐标.
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【题目】在中国绿化基金会的支持下,库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达,从2018年开始,每年将出现这样的情况,上一年底沙漠面积的被栽上树改造为绿洲,而同时,上一年底绿洲面积的又被侵蚀,变为沙漠.
(1)设库布齐沙漠面积为1,由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为,经过1年绿洲面积为,经过n年绿洲面积为,试用表示;
(2)问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过(年数取整数).
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【题目】下列四个命题中真命题是
A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行
B. 底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】某化工企业2018年年底投入100万元,购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元,此外,每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为(单位:万元)
(1)用表示;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。
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【题目】如图所示,在三棱柱中,平面是线段上的动点,是线段上的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,且直线所成角的余弦值为,试指出点在线段上的位置,并求三棱锥的体积.
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【题目】将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像,且函数满足,则下列命题中正确的是()
A. 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为
B. 函数图像关于点对称
C. 函数图像关于直线对称
D. 函数在区间内为单调递减函数
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